弧焊变压器的优化设计

陈建忠　史耀武　赵海燕

　　摘要　对动铁分磁式弧焊变压器进行了优化设计。寿命经济变压器的数学模型同时考虑了变压器的成本和效率，在整个寿命周期内消耗的社会财富最少。采用了混合罚函数法、混合离散变量法和改进正交优化法进行优化计算，结果表明，寿命经济变压器的功率因数十分重要；设计工作中应遵循一些原则。讨论了三种优化方法的优缺点。*展望了弧焊变压器优化设计的前景。
　　关键词：焊接变压器　优化设计　惩罚函数法　混合离散变量法　正交优化法

Optimum Design of Welding Transformer

Chen Jianzhong (Xian Jiaotong University　710049　China)
Shi Yaowu (Beijing Polytechnic University　100022　China)
Zhao Haiyan (Qinghua University　100084　China)

　　Abstract　Optimum design of movable-core-shunting arc welding transformer is carried out in the present paper. A mathematics model of Economical-through-life transformer, considering both product cost and operating losses, is established. Mixed penalty function method,mixed discrete continuous variables method and improved orthogonal method are employed to conduct the optimization calculations. Results show that the power factor is quite important in an Economical-through-Life transformer, and that some principles must be followed in the design work. Also discussed are the advantages and disadvantages of the three methods.In the end, the prospect of optimum design of welding transformer is reviewed.
　　Keywords: Welding transformer　Optimum design　Penalty function method　Mixed discrete continuous variables method　Orthogonal design
　　
　　
1　概述
　　弧焊变压器用于各式各样的焊接电源中，在工业中应用很广泛，数量多，产量大，它的生产和使用消耗着大量的材料(包括铜材和铁材)和电能。优化设计是近年来兴起的一种现代化的设计方法，它通过对产品结构的合理设计来达到经济高效的目的。将优化设计用于弧焊变压器，可望得到低成本高效率的产品，降低能源和材料消耗。
　　电力变压器容量大，结构复杂，优化设计可能取得巨大的经济效益，成为变压器的优化设计主要目标^［1，2］。Basak等^［3，4］发展了一个软件包，分析了变压器铁心中的磁通和损耗分布。Lee等^［5］用有限元法对变压器的铁心形状进行设计，减少了铁损。近年来又发展了很多新的优化方法应用于变压器。Alotto等人^［6］用自适应模拟退火算法进行了变压器的设计。Bai等人^［7］将遗传算法应用于大型变压器的优化设计。比较而言，焊接变压器的优化设计工作开展得不是很深入，这是因为焊接变压器是高漏抗变压器，它的优化设计比较困难。
　　本文对动铁分磁式弧焊变压器进行了优化设计计算，建立了寿命经济变压器的数学模型，同时考虑了制造成本和后期运行损耗，采用了混合罚函数法(MPF)、混合离散变量法(MDCV)和改进正交优化法(IOD)进行计算，较好地处理了离散变量，并在整个可行域内均匀地布置初始点，找到了较为接近全局*解的设计方案。
2　梯形动铁分磁式弧焊变压器的数学模型
　　图1示出了弧焊变压器的结构。下面建立它的数学模型。

图1　梯形动铁分磁式弧焊变压器的结构
Fig.1　The geometrical structure of trapezoid movable-core-shunting welding transformer

2.1　目标函数^［8］
　　合理选择目标函数非常重要，不同的目标函数会得到不同的*方案。可以选择变压器的重量作为目标函数，如军用、空间等设备中的变压器。一般常将效率作为目标函数

式中　η ——变压器效率
　　　P₂，　P_Fe，　P_Cu——变压器的次级功率、铁损和铜损
也可将变压器的成本作为目标函数

minf₂(x)=C_FeG_Fe+C_CuG_Cu(2)

式中　C_Fe,G_Fe,C_Cu,G_Cu——铁价、铁重、铜价、铜重
　　式(1)对效率进行优化，得到的变压器有着较低的运行损耗，但成本却可能偏高；式(2)对成本进行优化，得到的变压器成本低，但效率可能差强人意。当然，可以在约束条件里分别考虑成本和效率，但此时只能取固定值，并不是成本和效率组合*。最理想的情况是将成本和效率都放进目标函数，寻求它们的*配合。
　　显然，变压器从生产到使用的过程中，都在不断地消耗社会财富。生产中的消耗表现为成本，而使用中的消耗表现为电能的消费，这两者都同用户直接相关。一部分电能用于焊接电弧，这部分电能不能省；而另一部分电能因为损耗而转化为热能，却有可能通过变压器的合理设计予以降低。从式(1)也可看出，损耗越小，变压器效率越高。
　　为了简化计算，假定变压器工作于额定负载。损耗可表示为

f₃(x)=H〔(P_Fe+P_Cu)FS_N+(1-FS_N)P_Fe〕C_e(3)

式中　H——变压器的寿命
　　　FS_N——额定暂载率
　　　C_e——电费
这样，成本和效率的*配合可表示为

minf(x)=c₂f₂(x)+c₃f₃(x)(4)

式中　c₂，c₃——资金的时间系数
　　式(4)描述的变压器从生产、服役到报废的整个寿命周期中消耗的社会财富最少，我们称之为寿命经济变压器。
2.2　约束条件和设计变量
　　变压器的性能必须满足使用要求和部颁标准，包括空载电流、电流调节范围、电流调节线性度、功率因数、许用电流密度等。另外，变压器的结构必须合理，且满足工艺性要求。还要具体考虑变压器的使用场合，对绝缘等级提出要求。这些组成了约束条件，一共是13个。需要指出的是，对于寿命经济变压器，成本和效率约束不再必要。变压器的设计变量为

x=〔c₁,d₁,c₂,d₂,B_m,K,L,H,Δ,δ,K_ba〕_T(5)

式中　c₁,d₁,c₂,d₂——一次和二次导线的尺寸
　　　B_m——磁场强度
　　　K——铜铁比系数
　　　L,H——铁心窗口的尺寸
　　　Δ——梯形的上下底之差
　　　δ——静铁心和动铁心之间的最小间隙
　　　K_ba——静铁心的宽厚比
2.3　目标函数值的估计
　　具体到本问题，可以估算目标函数的极值范围。变压器的功率因数和效率满足

从式(6)和式(7)，我们有

代入式(3)，可以估算目标函数的极值。
　　
3　结果和讨论
3.1　计算结果
　　用MPF计算获得了25个较好方案，其中5个列于表1。注意表1是未经圆整的结果。对一个电磁方案分别使用MPF(圆整解)、MDCV和IOD，优化结果对比示于表2。表1和表2中的优化结果都比较接近，利用2.3中所述的方法进行目标函数值的估算，发现这些结果都接近理论*值。在IOD中，优化计算采用了两步：*步，将所有的变量都分成13个水平进行*轮计算，分析计算结果，找出对目标函数影响显著的5个变量，如表3所示，方差分析得到的F比值较大的c₁，d₂，B_m，K和L是显著变量；第二步，进一步对显著变量进行细分，每个再分为5个水平，其他变量取固定值，进行第二轮优化计算。

表1　MPF的5个优化方案
Tab.1　Five optimum results of mixed penalty function method

设计变量	方案1	方案2	方案3	方案4	方案5
c₁／mm	9.41	8.61	8.76	9.74	9.17
d₁／mm	1.83	2.08	2.15	1.88	1.87
c₂／mm	9.75	9.56	9.05	9.30	9.86
d₂／mm	2.66	2.65	2.73	2.68	2.69
B_m／T	1.41	1.40	1.40	1.37	1.36
K	2.48	2.57	2.56	2.51	2.52
L／mm	20.8	19.4	20.1	19.9	22.0
H／mm	12.3	13.4	12.4	12.6	13.0
δ／mm	0.15	0.144	0.14	0.16	0.13
Δ／mm	1.50	1.49	2.52	1.48	1.26
Κ_ba	2.77	3.07	3.10	3.21	3.00
目标函数值／元	16702	16736	16721	16726	16802

　　除了*方案外，通过对*方案的分析，可以得出一些焊接变压器设计应遵循的原则：
　　(1) 寿命经济变压器的功率因数很重要。图2中数据点代表了不同电磁方案的变压器，这些变压器的电气参数差异很小，如表4所示，从使用的角度来看，它们是基本相同的。然而图2表明，这些变压器的功率因数变化1%时，目标函数值变化了约12%。由此可见，功率因数约束是一个主要约束，

表2　三种优化方法的结果
Tab.2　Results of the three optimization methods

设计变量	原始方案	MPF	MDCV	IOD
c₁／mm	9.30	9.30	9.30	7.40
d₁／mm	2.26	1.95	1.95	2.83
c₂／mm	10.00	10.0	11.60	7.40
d₂／mm	3.05	2.83	3.05	3.05
B_m／T	1.33	1.33	1.32	1.32
K	2.01	2.58	2.75	2.30
L／mm	205.0	216.0	180.0	220.0
H／mm	136.0	157.0	140.0	180.0
δ／mm	0.9	0.14	0.15	0.13
Δ／mm	1.60	1.59	1.45	1.68
Κ_ba	1.86	3.95	2.52	3.75
目标函数值／元	17450.8	17062.5	17104.0	16927.8

表3　IOD的*轮结果及分析
Tab.3　Optimum result using improved orthogonal design
after the first run and the analysis upon the result

设计变量	优化结果	F	目标函数值
c₁／mm	6.90	1.49	17347.6
d₁／mm	2.83	1.07
c₂／mm	7.40	1.01
d₂／mm	3.05	3.26
B_m／T	1.30	1.18
K	2.33	1.13
L／mm	220	1.61
H／mm	180	1.05
δ／mm	0.13	1.07
Δ／mm	1.78	1.10
Κ_ba	3.75	1.00

表4　图2中变压器电气参数的差异
Tab.4　Difference of electrical parameters of transformer illustrated in Fig.2

电气参数	初级空载电流	次级最大电流	次级最小电流	次级中间电流
差异	0.6	10.0	10.0	1.0

图2　功率因数和目标函数的关系
Fig.2　Relationship between power factor and objective function

比较难以满足；若能采取适当措施提高变压器的功率因数，势必大大降低目标函数的极值。这是动铁分磁式弧焊变压器设计的关键之一。
　　(2) 讨论一下电流线性度和梯形动铁心形状之间的关系。电流线性度用l表示l=(I_2max-I_2min)／2-I_2Z 梯形动铁心的形状用角θ来表征，如图3所示。关于θ和电流线性度的关系有很多不同的观点。有人认为θ=3°18′时线性度*，有人认为θ=3°35′时*。我们统计了用MFP计算的25个较优方案，如图4所示，发现θ值和电流线性度之间并无明显关系：不同的方案有不同的θ值，点的分散性很大；25个方案中*的5个方案θ值都较小，约为2°50′。我们认为，电流线性度和包括梯形形状在内的几个因素有关，具体关系还需进一步研究。

图3　梯形动铁心的形状
Fig.3　The shape of trapezoid movable-core

图4　梯形形状和电流线性度的关系
Fig.4　Relationship between the shape of trapezoid and linearity of welding current

　　(3) 本台变压器的磁密在1.40T附近。增加磁密能够减小铁心和铜线的重量，使变压器重量降低，成本降低，但同时也使比损耗增加。因此过大的磁密会使变压器效率降低。优化方法最终找到的是*磁密。同样，其他参数如铜铁重量比系数、铁芯厚宽度比系数等也有类似现象，不再赘述。ｓ

3.2　讨论
　　在焊接变压器电磁方案的优化设计中存在三个主要困难：一是离散变量如导线尺寸、铁心厚度的处理；二是如何得到全局*解；三是怎样将优化计算和电磁场的有限元分析结合起来。经过大量的设计计算，发现MPF、MDCV和IOD在用于动铁分磁式弧焊变压器的优化设计时，各有优缺点。
　　MPF能自动有效地寻找初始可行点，并且一般能给出一个可行解，最起码是局部*值，这使它的适应性好。但MPF计算得到的设计变量都是连续值，应用于设计时离散变量须经圆整，带来如下问题：经过圆整，解可能越出了可行域，可行解不再可行；圆整解可能不是*点；在有些情况下，不允许对结果进行圆整，圆整后结果失去意义；圆整无规律可循。
　　MDCV解决了设计变量取离散值的问题，在计算中允许变量存在离散值。但MDCV算法寻找初始可行点的能力较差，通常需要给出初始可行点。这在方案的改进设计中不成问题，但在新方案的设计中，有时会没有初始可行点。另一个缺点是它极易收敛于局部极值。
　　IOD算法用增广目标函数代替原目标函数，并且采用正交表及其同构表安排计算初始点，大大增加了获得全局*解的可能性。IOD直接计算目标函数值，对目标函数的性态没有苛刻要求。IOD还有望减少目标函数的计算次数，从而有可能使优化计算和电磁场的数值分析相结合。
　　在实际问题中，建议多种方法的联合使用。可以先用MPF进行寻优计算，找到一系列的可行解；再将这些解圆整，代入MDCV进行第二轮寻优计算。也可以用IOD来安排初始点，用MDCV进行优化；或用MPF来进行寻优计算，*用MDCV获得实用解。
　　计算机技术和数学规划的发展，为电磁装置的优化设计提供了物质基础和理论支持。优化设计的关键，一是所建立的数学模型能否正确描述实际物理问题；二是寻找适合于该问题的数学规划方法。弧焊变压器的高漏抗变压器，其电气参数的精确计算十分困难，以往主要使用经验公式。为了精确建立弧焊变压器的数学模型，有必要对其电磁场、漏抗等的分布进行有限元等数值分析^［9,10］，准确描述变压器内部的电磁现象，定量计算电气、性能参数，为优化设计提供依据。这方面我们已经做了一些工作，变压器的电气参数的理论计算值和实测结果符合得很好^［11］。三维各向异性电磁场的有限元分析规模巨大，变压器铁心的非线性需要迭代求解，而优化设计计算又需要多次计算目标函数，这样使计算工作十分艰巨。为此需要寻找合适的优化方法，以适应有限元计算。尽管困难重重，但随着计算机技术的飞速发展，相信数值分析和优化设计的结合必将给设计方法带来一场革命。

4　结论
　　(1) 建立了寿命经济变压器的数学模型。寿命经济的概念既计入了成本又考虑了后期运行损耗(效率)，很适合于电磁装置等的成本、效率多极值优化问题。
　　(2) 寿命经济变压器的功率因数对设计方案影响很大，采取提高功率因数的措施能有效地提高变压器的经济效益。
　　(3) 对于工程实际问题，混合罚函数法、混合离散变量法和改进正交优化法各有优缺点，这些方法的联合使用会使优化设计更加有效和灵活。
　　(4) 为准确进行电磁装置的优化设计，有必要对其磁场、损耗分布等进行三维有限元分析。

陈建忠　男，1973年生，1995年毕业于西安交通*，1995年至今攻读西安交通*材料工程学博士学位，曾从事焊接设备的优化设计工作，目前主要进行无损检测方面的工作，包括超声检测信号处理、超声检测可靠性研究、在国内外发表论文10余篇。
史耀武　男，1940年生，1964年毕业于西安交通*，1982年在英国Aston*获得博士学位，现任北京工业*材料院长，教授、博士导师，兼任*电工技术学会电焊专委会副主任，研究领域包括材料学、焊接设备、焊接力学、无损检测、焊接数值模拟等方面，在国内外发表学术论文220余篇。
Chen Jianzhong　was born in 1973. He got his B.E from Xi‘an Jiaotong University in 1995. Currently he is pursuing his Ph.D degree at the same university. His main research interesting include optimum design of welding equipment, NDT area such as signal processing of ultrasonic testing, reliability of NDT. He has published more than 10 papers in domestic and abroad.
作者单位：陈建忠 (西安交通*　710049)
　　　　　史耀武 (北京工业*　100022)
　　　　　赵海燕 (清华* 　100084)　

参考文献

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　[11]　赵海燕.焊接变压器的磁场有限元分析及优化设计：［博士学位论文］.西安交通*，1997.

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